O modelo de Black-Scholes: o que ele calcula, e o que ele assume

Black-Scholes é tratado como uma caixa preta que “dá o preço certo” da opção. Não é isso. O modelo pega cinco números que você fornece e devolve o único preço matematicamente consistente com eles, sob um conjunto de premissas específicas. Se um desses números estiver errado, ou se as premissas não valerem pro seu caso, o preço que sai também está errado, mesmo que a conta esteja perfeita.

Os cinco inputs

Preço do ativo (S) e strike (K): os dois números mais óbvios, definem o quanto a opção está dentro ou fora do dinheiro.

Tempo até o vencimento (T): quanto mais tempo, mais valor extrínseco, como já vimos nos posts sobre call e put.

Juro livre de risco (r): no Brasil, referenciado à Selic. Afeta o custo de carregar a posição equivalente no ativo, e pesa mais em opções mais longas ou strikes mais distantes.

Volatilidade (σ): o único dos cinco que não é observável diretamente. Todos os outros quatro você lê direto de uma tela. Volatilidade você tem que estimar, e é aqui que mora praticamente toda a divergência entre “quanto a opção deveria valer” segundo pessoas diferentes.

O gráfico mostra a mesma call, mesmo strike, mesmo prazo, rodada com dois valores de volatilidade diferentes. O preço muda de forma relevante em toda a curva, não só perto do strike. Isso não é uma falha do modelo, é o ponto central dele: Black-Scholes não “sabe” quanto o ativo vai balançar, ele só devolve o preço consistente com o quanto você disse que ele vai balançar.

As premissas que o modelo carrega escondidas

A fórmula original assume: retornos do ativo seguem uma distribuição log-normal, a volatilidade é constante durante toda a vida da opção, não existe custo de transação, é possível negociar continuamente em qualquer quantidade, e a taxa de juro é constante e conhecida. Nenhuma dessas premissas é exatamente verdadeira no mundo real. A volatilidade muda o tempo todo (é literalmente o assunto do próximo post desta série), existe spread e corretagem, e liquidez não é infinita, principalmente em opções brasileiras fora dos nomes mais líquidos.

Isso não invalida o modelo. Ele continua sendo a referência universal do mercado justamente porque é simples, transparente e todo mundo usa a mesma base, o que permite comparar preços de forma consistente. O erro é tratar o número que sai dele como uma verdade objetiva, em vez de uma conclusão que só vale enquanto os inputs valerem.

Por que a Sarisa insiste em rodar com juro e dividendo reais

É comum ver estrutura de opções precificada com juro genérico ou desatualizado, especialmente em conteúdo educacional. A Selic muda, o prêmio de risco muda, e um mesmo strike pode ficar 5% a 10% mais caro ou mais barato só por causa de um input desatualizado, sem que o ativo tenha se mexido nada. Antes de cravar o custo de qualquer estrutura, a regra aqui é simples: rodar o modelo com a Selic do dia e o dividendo esperado reais, não com um número “aproximado o suficiente”. Aproximado o suficiente, quando o resultado vira decisão de dinheiro real, não é suficiente.

O gráfico usa parâmetros ilustrativos (K=100, 45 dias úteis, juro 10,5% a.a., vols de 18% e 45% a.a.) só pra deixar visível o efeito da volatilidade. Não é cotação de nenhum ativo real.